Math Battle [ 0272: IMO 過去問: 5 ]

[ 0272: IMO 過去問: 5 ]

[ 西尾三奈さんの出題 ]

任意の鋭角三角形 ABC とその外接円があります。
辺 AB 上と辺 AC 上にそれぞれ AD = AE となるように点 D と点 E を置きます。

さらに BD の垂直二等分線が円弧 AB と交わる点を F、
CE の垂直二等分線が円弧 AC と交わる点を G
としますと、DE と FG は平行もしくは全く同一の線分になることを証明してください。

レイアちゃん、できますか？

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

DE と FG は平行ということは、これらと交差する補助線を作って
錯角か同位角が等しいことを証明できればいいわけですね。

さいわいに AD = AE ということから「等辺⇔等角」の性質が使えますし
外接円の円周角が等しいということが使えますね。

ちょっと考えて下の図のように補助線を引いてみました。
これでも同位角ができますから、その線で進みます。

等辺は AD=AE 以外に FB=FD および GC=GE
したがって ∠ALF = ∠ABL = ∠FDB = ∠ADL
すなわち三角形 DAL は二等辺三角形。
同様に三角形 MAE も二等辺三角形。

M, D, E, L は A を中心とする円周上にあることがわかりました。

円周角の関係から
∠MED = ∠MLD = ∠MLF = ∠MGF

同位角が等しいことがわかりましたので、DE と FG は平行です。

DE と FG が全く同じ線分になるのは
AB = AD = AC = AE のときです。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

レイアちゃん、よくできました。
お IMO をおごってあげます。何がいいですか。

[ レイアちゃんのコメント ]

わー、うれしい。
10 月 19 日の披露宴では焼き IMO を食べましたから、大学 IMO をお願いします。

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