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[ 0273: 接する4種類の円の半径 ]
[ 星楊令さんの出題 ]
単純明快な問題です。
最も小さい円の半径を 1 とするとき、他の円の半径を全部求めてください。
[ 広世正憲君の回答 ]
単純明快に回答いたします。
90 度回転して次のように補助線を引きました。
最も小さい円を F と呼び ρ = r/2 = R/3 とします。
円 F は円 A および円 C に外接しています。
すなわち R = 3ρ, r = 2ρ
したがって OA = 3ρ, OC = 4ρ, AC = 5ρ, OB = 6ρ
CF = r + ρ = 3ρ = OA, AF = R + ρ = 4ρ = OC
OAFC は長方形 (矩形) であることがわかりましたから OF = AC = 5ρ
円 F (赤) が大円 O (青) に内接する接点を T (tangent) としますと
OT = 5ρ + ρ = 6ρ
三角形CFAは 3:4:5 の直角三角形です。
以上から、円 G の半径 = 2, 円 A の半径 = 3, 円 O の半径 = 6
ですね。
[ 星楊令さんのコメント ]
はい、正解です。IMO 過去問が並んでいる中、簡単すぎましたかね。
[ レイアちゃんのコメント ]
なるほど。正憲君の解きかたでいいですね。私は次のようにやりました。
円の半径を大きい順から r1, r2, r3, 1 とします。
補助線のおかげで以下の関係はすぐわかります。
① r2 = r1/2 (水平方向から)
② r2 = r3 + 1 (水平方向から)
③ (r2 + r3)^2 = (r1 - r3)^2 + r2^2 (ピタゴラスの定理)
① と ② から
r3 = r2 - 1 = r1/2 - 1
これらを ③ に代入して
(2*r3 + 1)^2 = (r1 - r1/2 + 1)^2 + (r3 + 1)
4*r3^2 + 4*r3 + 1
= (1/4)*r1^2 + r1 + 1 + r3^2 + 2*r3 + 1
整理しますと
3*r3^2 + 2*r3 - (1/4)*r1^2 - r1 - 1 = 0
3*r3^2 + 2*r3 - ((1/2)*r1 + 1)^2 = 0
r3 についての2次方程式として解き正の解をとりますと
r3 = r1/3
r2 = r3 + 1 = r1/3 + 1 と r2 = r1/2 から
r1/3 + 1 = r1/2
2*r1 + 6 = 3*r1
r1 = 6
順次 r2, r3 を求めます。
r2 = r1/2 = 3
r3 = r2 -1 = 3 - 1 = 2
というわけです。
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