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[ 0274: 4分円4個の重なり部分の面積 ]
[ 浅見多絵さんの出題 ]
さまざまな解きかたが楽しめる問題です。
どういう方法でも結構ですから青で着色した部分の面積を求めてください。
[ 大宙乗児君の回答 ]
便宜的に正方形の左下隅の頂点に座標原点 O (0, 0) をおき、
点 A,B,C,D を図のように決めます。
A (ax, ay)
対称性から ax = 10
x^2 + y^2 = 400
(x-20)^2 + y^2 = 400
ay = 10*sqrt(3)
同様に
B (10*sqrt(3), 10)
AB = sqrt((10*sqrt(3)-10)^2+(10*sqrt(3)-10)^2)
= sqrt(2)*(10*sqrt(3)-10)
正方形 ABCD の面積
= 2*(10*sqrt(3)-10)^2
= 200*(sqrt(3)-1)^2
= 400*(2-sqrt(3)) -- ①
三角形 AOB に 余弦定理 を使って
cos(∠AOB) = (400+400-200*(sqrt(3)-1)^2)/(2*20*20)
= (800 - 800 + 400*sqrt(3))/800
= sqrt(3)/2
したがって ∠AOB = 30°
扇形 AOB の面積 = 400*pi / 12 = (100/3)*pi
三角形 AOB の面積 = (1/2)*(20*20)*sin(∠AOB)
= 100
三日月 A~B の面積 = (100/3)*pi - 100 -- ②
青の部分の面積 = ① + 4*②
= 400*(2-sqrt(3)) + (400/3)*pi - 400
= 400*(2 - sqrt(3) + pi/3 - 1)
= 400*(1 + pi/3 - sqrt(3))
≒ 126.05870
になりました。
[ 浅見多絵さんのコメント ]
ありがとう、乗児君。正解です。
ところで「乗児くん物語」のほうはどうなってるの？
早く続きを書いてください。
[ 南門疾矢君のコメント ]
余弦定理など使わず、
3 元 1 次連立方程式を解いて青の部分の面積を求める方法がありますよ。
下の図解で a が青の部分です。
① a + 4*b + 4*c = 400 (正方形全体)
② a + 3*b + 2*c = 100*pi (4分円)
③ a + 2*b + c = 「60°の扇形」*2 - 三角形
「60°の扇形」*2 - 三角形
= (400/3)*pi - 100*sqrt(3)
② - ③ から
b + c = -(100/3)*pi + 100*sqrt(3)
これを ① に代入して
a = 400 - 4*(b + c)
= 400 + (400/3)*pi - 400*sqrt(3)
≒ 126.05870
というわけです。乗児君の解法より計算量は少ないと思います。
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