Math Battle [ 0279: 半円に内接する対称台形 ]

[ 0279: 半円に内接する対称台形 ]

[ 星楊令さんの出題 ]

出題のタイトルだけだと意味がわかりにくいですが、こういうことです。

上図のように半径 r の半円に内接する左右対称な台形があり、
辺長を 2*a, 2*b, 2*a, 2*r とし、r, a ,b はいずれも正の整数とします。

この条件で r が最小となる解を見つけてください。

[ 井伊莞爾君の回答 ]

辺長が 2*a の部分の中心角を α、
辺長が 2*b の部分の中心角を β とします。

そうしますと：

r*sin(α/2) = a -- ①
r*sin(β/2) = b -- ②

ここで、2*α + β = 180 度ですから
β/2 = 90 度 - α

これを ② に代入しますと：
r*sin(β/2)
= r*sin(90 度 - α)
= r*cos(α)
= r*(1 - 2*sin²(α/2))

sin(α/2) が出てきましたので ① を代入しますと、結局:

r*(1 - 2*a²/r²) = b
r - 2*a²/r = b

両辺に r を掛けて r に関する 2次方程式の形を整えます。
r² - b*r - 2*a² = 0

r に関する正の解は:

r = (-b + sqrt(b² + 8*a²))/2

まず (b² + 8*a²) が平方数になる必要がありますね。

手を抜くため総当りプログラムで解を求めました。

a,b,c が互いに素なもの (公約数をもたないもの) は以下のとおりでした。

*** Found: r:2 a:1 b:1
*** Found: r:8 a:2 b:7
*** Found: r:9 a:3 b:7
*** Found: r:9 a:6 b:1

(r:2 a:1 b:1) は正三角形が 3 個集まったもの (雪印チーズの半分) ですね。
なーんだ、これが r の最小解でしたか。

[ 広世正憲君のコメント ]

似たような三角関数計算をして結果的に (r:9 a:3 b:7) になる問題が
YouTube にありますよ。
YouTube 版は 2 個ある 6 (=a*2) と 1 個ある 14 (= b*2) をもとに
半径 r(= 9) を求めるという趣旨です。

[ 星楊令さんのコメント ]

はい、正解です。二人ともよくできました。

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