Math Battle [ 0280: 2次方程式に化ける冪乗式 ]

[ 0280: 2次方程式に化ける冪乗式 ]

[ 湯会老人の出題 ]

2019 年 11 月以降は Dallas Cowboys のあまりの不甲斐なさに憤激し
不貞寝をするうち体調まですっかりおかしくなりました。
今は気分を変えて元気になりつつあります。ご心配をおかけしたことに
深くお詫び申し上げます。

さて私の不貞寝中驚くべきことが起こっていたようでして、
ホームページの読者が大幅に増えました。
Dallas Cowboys ファンが知的刺激や奇想天外話を求めて大量に鞍替えしたのでしょうか？
「異なるサービスホスト数」の増加に反映されています。
なお、Appleユーザーが依然増えていますね。

さて、ウオーミングアップの問題です。
次の方程式の実数解 x を求めてください。

9^x + 12^x = 16^x

[ 大宙乗児君の回答 ]

ちょっと考えましたがわかりました。

まず両辺を 9^x で割ります。そうしますと:

(9/9)^x + (12/9)^x = (16/9)^x

すなわち 1 + (4/3)^x = ((4/3)^x)²

a = (4/3)^x と置きますと:
1 + a = a²

a > 0 ですから上の a に関する 2 次方程式の解は
(1 + sqrt(5))/2　すなわち黄金比 (golden ratio)。

(4/3)^x = (1 + sqrt(5))/2 の両辺の対数をとって:
x*ln(4/3) = ln((1 + sqrt(5))/2)

x ≒ 1.6727

でした。

[ 湯会老人のコメント ]

よくできました。
a^x + b^x = c^x
で解ける一般の方程式がわかるかな？

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