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[ 0281: 対称多項式の逐次計算 ] [ 西尾三奈さんの出題 ] (x+y), (x*y + y*z + z*x), (x*y*z) のように項の順番を入れ替えても同じものを 対称式、実質的な項数が複数なものを「対称多項式 (Symmetric Polynomial)」と呼びます。
という 3 変数関数を考えてみましょう。
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3 のとき なお、xn は便宜的に x^n と表記されることも多いですが同じ意味です。 [ 広世正憲君の半解凍 (笑) ] 与えられた条件では変数は 3 個、方程式も 3 個ですから x, y, z はわかりますね。
x + y + z = 1 さっそく 狼羊さん (Wolfram|Alpha) に解いてもらったところ:
変数が 3 個ですから解は 3! = 6 とおりの順列になります。
青で示すのが複素平面上の単位円 (半径 1)。
x, y, z の 3 変数でできる対称多項式は次の式を組み合わせて全部できるもの
まず (x+y+z)^2 の展開式から始めてみます。何かわかるかな？ (x+y+z)^2 = (x^2 + y^2 + y^2) + 2*(x*y+y*z+z*x)
a = x + y + z = f(1) = 1 は既にわかっています。 次に (x+y+z)^3 の展開式をやってみましょう。
(x+y+z)^3
与えられた値をあてはめて： 次に (x+y+z)^4 の展開式をやってみましょう。
(x+y+z)^4 もっとエレガントな解法を教えてください。 [ 西尾三奈さんのコメント ]
正憲君、b と c の値は正解です。
...ということなどが書かれています。すごい歴史ですね。 [ 大宙乗児君のコメント ]
僕は狼羊さんが解いた連立方程式 (f(1)=1; f(2)=2; f(3)=3) の解を使って 解の近似値を次の値とします。(x, y, z は交換可能）
x: 1.43085
(1.43085)^n+(-0.215425-0.264713i)^n+(-0.215425+0.264713i)^n
正憲君の予想を裏切って単調増加になりましたね。
[ 西尾三奈さんのコメント ] 乗児君、お疲れさま。結果は正解です。 でももっと理論的に考えましょうね。 [ 井伊莞爾君のコメント ]
なるほど。乗児君は狼羊さんに次のように入力して
出てきた計算後の値をクリックすると有理数表現も得られるし。
何らかの規則性がありそうだから、 [ 湯会老人のコメント ]
Newton–Girard formulae の話ですね。 なおこれは代数学の世界にとどまらず一般相対性理論の確立にも影響を与えています。 |
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