Math Battle [ 0282: 四分円に内接する半円 ]

[ 0282: 四分円に内接する半円 ]

[ 仲島克郎さんの出題 ]

おなじみ YouTube からの出題です。

四分円（quarter circle) の面積に対して赤で塗った半円 (semicircle) の面積が
どのくらいの比率になるかという問題です。

見てだいたい見当がつきますね。

これをあえて YouTube とは違った方法で解いてください。

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

下の図のように考えました。

4 分円の中心を O (0, 0)、半径を a
半円の中心を A (b, b)、半径を b
とします。

4 分円:
x^2 + y^2 = a^2

半円:
(x - b)^2 + (y - b)^2 = b^2

上記の 2 図形の第 1 象限内での交点 B, C の座標は
狼羊さんを使って求めました。こんな感じですが、
BC の中点計算の際に平方根の部分は打ち消し合います。

BC の中点が半円の中心 A と一致するには:

b = (a^2 + b^2) / (4*b)

すなわち
4*b^2 = a^2 + b^2
3*b^2 = a^2

4 分円の面積 = pi*a^2/4 = pi*(3*b^2)/4

半円の面積 = pi*b^2/2

(半円の面積) / (4 分円の面積) = ((1/2) / (3/4)) = 2 / 3

でした。お芋をください。

[ 仲島さんのコメント ]

レイアちゃん、ありがとう。正解です。
莞爾君はいよいよ大学受験。
乗児君と正憲君はほかの科目で忙しいみたい。

これは IMO (国際数学オリンピック) 問題ではないですが、
ほっかほかの焼き芋を食べましょう。今度のカラオケバトルの時にでも。

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