Math Battle [ 0285: 円に内接する2段重ね正方形 ]

[ 0285: 円に内接する2段重ね正方形 ]

[ 南門疾矢君の出題 ]

以下の幾何学問題を解いてください。

円に内接する2段重ねの正方形があります。
大きい正方形と小さい正方形の面積の比を求める問題です。

円に内接する四角形 ABFE に関するトレミーの定理は
a,b の値に無関係に成立しますので、これで攻めても無駄です。

[ 井伊莞爾君の回答 ]

円の中心を O とし、大きい正方形の一辺の長さを a、
小さい正方形の一辺の長さを b とします。

OB = 円の半径 = a/sqrt(2) --- ①

OF = 円の半径 = sqrt((b/2)^2 + (a/2 + b)^2) --- ②

a/sqrt(2) = sqrt((b/2)^2 + (a/2 + b)^2)

両辺を2乗して:
a^2/2 = (b^2 + a^2 + 4*a*b + 4*b^2)/4
2*a^2 = b^2 + a^2 + 4*a*b + 4*b^2
a^2 - 4*a*b - 5*b^2 = 0
(a + b)*(a - 5*b) = 0

a と b はともに正ですから a = 5*b

面積の比は 25 : 1 です。

[ 南門疾矢君のコメント ]

莞爾君、あっというまに正解しましたね。

センター試験で理数系が満点だったというのはウソではなかったみたい。
Math Battle でよく勉強してくれました。

[ 井伊莞爾君のコメント ]

ありがとうございます。
昨年の 10 連休のとき疾矢君さんと合宿してから賢くなりました。

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