Math Battle [ 0288: 円の中の円と2個の正方形 ]

[ 0288: 円の中の円と2個の正方形 ]


[ 三方万理先生の出題 ]

図で示すように大きい円の中に小さい円と正方形 2 個がきっちり詰まっています。
小さい円の半径と正方形の一辺の長さは同じです。

このとき tan(∠ACB) の値を求めてください。


[ 大宙乗児君の回答 ]

角度の問題ですから、大きい円の半径を 1, 小さい円の半径を r とします。
こうしても一般性は失われません。

正方形の下にできる隙間の長さは:
(大きい円の直径) - (小さい円の直径 + 正方形の一辺)
= 2 - (2*r + r)
= 2 - 3*r

したがって
OF = 1 - (2 - 3*r)
= 3*r - 1 ①

いっぽう、その横に存在する直角三角形にピタゴラスの定理を使いますと:
OF = sqrt(1 - r^2) ②

① と ② が等しいので:

3*r - 1 = sqrt(1 - r^2)
9*r^2 - 6*r + 1 = 1 - r^2
10*r^2 - 6*r = 0
r*(r - 0.6) = 0

r = 0 を除外して r = 0.6

円周角と中心角の関係から:
∠ACB = ∠AOB/2
さらに ∠DOE = ∠AOB/2 から
∠ACB = ∠DOE

あとは単純計算です。

OD = 1 - (2 - 3*r + r)
= -1 + 2*r
= 0.2

tan(∠DOE)
= DE/OD
= 0.6/0.2
= 3

簡単な値になりました。これでいいですか?


[ 三方万理先生のコメント ]

乗児君、正解です。計算が簡単すぎましたね。
「余弦定理 ⇒ 半角の公式」という道をたどる必要がありませんでした。

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