Math Battle [ 0289: 二等辺三角形の中の3個の内接円 ]

[ 0289: 二等辺三角形の中の3個の内接円 ]

[ 千手春弥さんの出題 ]

次の問題を解いてください。正解者にはチョコレートをあげます。

[ 南門疾矢君の回答 ]

次のように補助線を入れ、各部の長さと角度の呼びかたを決めました。

それぞれの三角形領域において空色の円は三角形の内接円になります。

あきらかに 2 個の直角三角形 ABH と DBH は合同。
AB = BD = c, HA = HD = x, BH = h, CD = y とします。

直角三角形 ABH と DBH にピタゴラスの定理を使いますと:
x² + h² = c² --- ①

∠CBK = 2*∠DBH = 2*α としますと:
tan(α) = x/h

cos(2*α) = BK/BC = c/(2*(c+y))
= (1 - tan²(α))/(1 + tan²(α))
= (h² - x²)/(h² + x²) --- ②

ここでヘロンの公式 (Heron's formula) を思い出してみましょう。
三角形において三辺の長さを a,b,c とし
s = (a+b+c)/2 としますと

内接円の半径 r は
r = sqrt((s-a)*(s-b)*(s-c)/s)
すなわち
4*r² = (a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a)/(a+b+c)

これを三角形 ABH (= DBH) と三角形 ACD に使いますと:
4*r² = (c+x-h)*(c-x+h)*(x+h-c)/(c+x+h) --- ③
4*r² = (c+2*x)*(c-2*x+2*y)*(2*x-c)/(c+2*x+2*y) --- ④

以上 4 個の式から c,x,y を消し r と h だけの関係を求めますと:

h = 4*r

[ 千手春弥のコメント ]

疾矢君、正解です。
チョコレートではなくてもっと豪華なプレゼント。
気の合う友達と一緒に旅行に行ってきなさい。

[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]

h = 4*r がわかったことを前提に計算しますと:
x = 3*r
c = 5*r
α = 約 36.87°

ですね。3:4:5 の直角三角形でした。

[ 三方万理先生のコメント ]

疾矢君の回答に少し補足します。

(直角三角形に限らず) 任意の三角形においてヘロンの公式が成立します。
これは 0150 で証明されているとおりです。

S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

いっぽう、三角形の内接円の半径を r としますと、三角形の面積 S は
S = (a*r)/2 + (b*r)/2 + (c*r)/2
= (a + b + c)*r/2
= s*r

s*r = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) から
r = sqrt((s-a)*(s-b)*(s-c)/s)

というわけです。

[ 0301: 次の記事 ]

[ 0300: 数学の天才の星 ]

[ 0299: アルゴリズムの性能評価 ]

[ 0298: 0281の回答 ]

[ 0297: 最近の主な記事改訂 ]

[ 0296: あっと驚く0295の解 ]

[ 0295: 正三角形群の面積総和 ]

[ 0294: 円系列の中心と半径 ]

[ 0293: 0101の補足 ]

[ 0292: 三角形の中の3個の半円 ]

[ 0291: 3個のオタマジャクシ ]

[ 0290: 正方形の中の5個の円 ]

[ 0289: 二等辺三角形の中の3個の内接円 ]

[ 0288: 円の中の円と2個の正方形 ]

[ 0287: Car Riddle ]

[ 0286: フィボナッチ数列と黄金比 ]

[ 0285: 円に内接する2段重ね正方形 ]

[ 0284: 2次関数=指数関数の整数解 ]