Math Battle [ 0292: 三角形の中の3個の半円 ]

[ 0292: 三角形の中の3個の半円 ]

[ 仲島克郎さんの出題 ]

図のように二等辺三角形 ABC の中に半径 1 の半円が 3 個積み重なっています。
このときの cos(∠BAC) の値を求めてください。
∠BAC が 60°と錯覚しないように。

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

図のように補助線を引いて点に名前をつけ、
計算をやりやすくするため ∠BAC = 2*α とします。

まず DG を求めます。
DG = sqrt(EG^2 - DE^2)
= sqrt (2^2 - 1^2)
= sqrt(3)

直角三角形 GFD において
DF = sqrt(DG^2 - FG^2)
= sqrt(3 - 1^2)
= sqrt(2)

cos(α) = DF/DG
= sqrt(2)/sqrt(3)

cos(∠BAC) = cos(2*α)
= 2*(cos(α))^2 - 1
= 2*(2/3) - 1
= 1/3

[ 仲島克郎さんのコメント ]

レイアちゃん、正解です。∠BAC は 74°ぐらいになりますね。

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