Math Battle [ 0295: 正三角形群の面積総和 ]

[ 0295: 正三角形群の面積総和 ]

[ 南門疾矢君の出題 ]

図のように一辺の長さが 1 の正三角形 ABC の中に底辺 BC と斜線 BD に挟まれた形で
無限個の正三角形 (赤色) が横並びに並んでいます。

∠DBC を θ とするとき、これら赤色の正三角形の面積の総和を求めてください。

[ 広世正憲君の半解凍(笑) ]

大きい三角形から順に 2 個の高さを h₁, h₂ とします。

まず h₁ を求めます。

tan(θ) = h₁ / (1-h₁ / sqrt(3))

これを解いて:

h₁ = sqrt(3)*tan(θ) / (tan(θ) + sqrt(3))

次に三角形同士の相似性から

tan(θ)
= h₂ / (1-(2*h₁+h₂) / sqrt(3))
= h₁ / (1-h₁ / sqrt(3))

これを強引に解きますと:

h₂ = h₁ - 2*h₁² / sqrt(3)

以降は:

tan(θ)
= h_n / (1-(2*h₁+2*h₂+...+2*h_n-1+h_n) / sqrt(3))
= h₁ / (1-h₁ / sqrt(3))

の関係を使います。
h_n を求めるには h₁ から h_n-1 までの値が全部必要ですね。

筆算では困難ですから次のようなプログラムで各三角形の描画データを出力し
GNUPLOT で確認しました。

OK でした。

$x という変数は正三角形の右下隅の x 座標です。
これを次の正三角形に移る際に順次変えてゆくのがミソです。

#!/usr/local/bin/perl

$N = 15;
$tan = 0.4;
$h = (sqrt(3)*$tan) / ($tan+sqrt(3));
$x = 1;

for ($n=1; $n=$N; $n++) {
  $x2 = $x - $h/sqrt(3);
  $x3 = $x - 2*$h/sqrt(3);
  # GNUPLOT 用の三角形描画データ出力。
  printf("%lf\t%lf\n", $x, 0);
  printf("%lf\t%lf\n", $x2, $h);
  printf("%lf\t%lf\n", $x3, 0);
  printf("%lf\t%lf\n\n", $x, 0);
  $x = $x3;
  $h = ((sqrt(3)*$tan) / ($tan+sqrt(3)))*$x;
}

ついでに、h の値が n とともにどう変わるかをグラフにしてみました。