Math Battle [ 0296: あっと驚く0295の解 ]

[ 0296: あっと驚く0295の解 ]

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

0295 は次のような出題でした。

図のように一辺の長さが 1 の正三角形 ABC の中に底辺 BC と斜線 BD に挟まれた形で
無限個の正三角形 (赤色) が横並びに並んでいます。

∠DBC を θ とするとき、これら赤色の正三角形の面積の総和を求めてください。

代数的に考えても答が見つかりませんから、思い切って発想を変えてみます。

図のように各正三角形をもとに長方形を作ってみると面白いことがわかります。

たとえば、正三角形 DRC をもとに作った長方形 PRCS の面積は
正三角形 DRC の面積の 2 倍。

さらに、長方形 PRCS の面積は台形 QRCE の面積と同じ。
三角形 PQD と三角形 SED が合同だからです。
これで各正三角形の面積の 2 倍の面積をもつ台形が得られました。

これらの台形の上辺は線分 BE 上に乗っていますから、全部の台形を合わせると直角三角形 BCE (面積は tan(θ) / 2) になります。

Bingo !!!

以上まとめますと、正三角形群の面積の総和は直角三角形 BCE の面積の半分。

すなわち答は tan(θ) / 4 でした。

なーんだ。難しく考えなくてもいいのです。
家庭科の実習で包丁を使ってネギや人参を切ったのを思い出しました。
三角、四角、台形、どんなふうにも切れますね。

[ 星楊令さんのコメント ]

やはりレイアちゃんにはかないませんね。毎回脱帽です。
次は寿司ネタを切ってください。全部合わせると直角三角形になるように。 (笑)

[ 広世正憲君のコメント ]

図解で納得。レイアちゃん、ありがとう。
僕も家庭科の実習を真面目にやれば良かった。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

あはははは。皆んな冗談が面白いこと。
私はマナイタを使う問題を考えます。「鯉心」を持ちましょう。
これぞ「マナイタの上の恋」。

[ 0296: あっと驚く0295の解 ]