Math Battle [ 0304: 正方形の中の正三角形と円 ]

[ 0304: 正方形の中の正三角形と円 ]

[ 三方万理先生の出題 ]

図のように辺長が 1 の正方形の中に正三角形がピッタリと内接しており、
右下の空いた部分に円がピッタリはいっています。

この円の半径を求めてください。

[ 井伊莞爾君のつぶやき ]

a + b = 1
2*b^2 = a^2 + 1

を解きます。

a = 2 - sqrt(3), b = -1 + sqrt(3)　ですね。

(1, a, sqrt(a^2 + 1)) という直角三角形の内心 (incenter) がわかれば
半径もわかりますね。

[ 広世正憲君の回答 ]

センター試験で理数系が満点だった莞爾君が a を求めてくれましたので、
それを利用します。

原点 O を正方形の左下隅におき、円の半径を r としますと:
円の中心座標はあきらかに (1-r, r)。

直線 OF (斜線) の式は y = (2 - sqrt(3))*x
すなわち (2 - sqrt(3))*x - y = 0

直線 OF と円の中心 (1-r,r) との距離は:
((2 - sqrt(3))*(1-r) - r)/sqrt((2 - sqrt(3))^2 + 1)

次の方程式が成り立ちます。

((2-sqrt(3))*(1-r)-r) / sqrt((2-sqrt(3))^2+1) = r

これを解いて: r ≈ 0.11634

[ 三方万理先生のコメント ]

二人とも、よくできました。正解です。

ご褒美に三奈さんが好きな「三本槍」をあげます。武術に励んでください。
( 日本号の由来 )

なあ、三角形の内接円の半径 (inradius) は (三角形の面積)/(周長の半分)
で求められます。周長の半分 (semiperimeter) はヘロンの公式では
s = (a + b + c)/2 と定義しています。
ここでは
r = (a/2)/((1 + a + sqrt(1 + a^2))/2)
　= a/(1 + a + sqrt(1 + a^2))
a = 2 - sqrt(3) を代入して r ≈ 0.116337

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