Math Battle [ 0305: 三角形の中の 6 角形 ]

[ 0305: 三角形の中の 6 角形 ]

[ 丘品花志先生の出題 ]

図のように三角形 ABC の内部に点 P があります。

P と A を通る円の中心を D、 P と B を通る円の中心を E、 P と C を通る円の中心を F とします。
このとき、着色した 6 角形の面積は三角形 ABC の面積の 1/2 になる
ことを証明してください。

[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]

うーん、わかりそうでわからない。
少し待ってください。

[ 井伊莞爾君の回答 ]

円に惑わされず、次のように考えれば簡単。

たとえば、三角形 AIP において D は A と P を通る円の中心だから
AD = DP = 半径。すなわち DP は AP の半分。
これらを同じ高さを持つ三角形の底辺と考えていいです。
したがって三角形 DIP の面積は三角形 AIP の面積の半分。

以下、同文。

[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]

あっ、わかりました !!! ありがとう。

[ 大宙乗児君のコメント ]

変だなあ...
以前同じ問題 0163 が出題されたとき、レイアは即答したのに。

最近は難しく考えすぎているのかな？

[ 0305: 三角形の中の 6 角形 ]