Math Battle [ 0306: 内接円と三角形の面積 ]

[ 0306: 内接円と三角形の面積 ]

[ 三方万理先生の出題 ]

図のように三角形 ABC の内心 (incenter) から 1 辺に垂線が引かれており、
垂線の長さ (= 内接円の半径) を含めて 3 箇所の長さがわかっています。

この条件で、三角形 ABC の面積を求めてください。

[ 広世正憲君の回答 ]

こう考えればいいですね。 a の値を求めることができれば解決です。

角度の関係から:

a = 15 / tan((pi - 2*arctan(15/26) - 2*arctan(15/25))/2)

a = 27 ですね。

これはちょっとズルい求めかたですので、正統的にヘロンの公式
を使ってみましょう。

まず内心から 3 辺への垂線で分けられた 6 個の面積の総和 S₁ は:
S₁ = (26 + 25 + a) * 15
= (a + 51) * 15

次にヘロンの公式で s = (26 + 25 + a) / 2
s = (a + 51)
s - (a + 26) = 25
s - (a + 25) = 26
s - (26 + 25) = a

面積 S₂ を求めますと:
S₂ = sqrt((a + 51)*a*25*26)

S₁, S₂ は等しいですから:

(a + 51) * 15 = sqrt((a + 51)*a*25*26)
両辺を 2 乗しますと；
225*(a^2 + 102*a + 2601) = 650*a^2 + 33150*a

425*a^2 + 10200*a - 585225 = 0
17*a^2 + 408*a - 23409 = 0
a^2 + 24*a - 1377 = 0
(a - 27)*(a + 51) = 0

正の解をとって a = 27

面積は S₁ の式から
(27 + 51) * 15
= 1170

[ 三方万理先生の出題 ]

正解です。よくもこんな大きな係数をもった式の因数分解ができましたね。

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