Math Battle [ 0309: 正方形4個でわかる円の半径 ]

[ 0309: 正方形4個でわかる円の半径 ]

[ 仲島克郎さんの出題 ]

図のように一辺が 2 の正方形を 4 個含む円があります。
円の半径はいくらになりますか？

[ 大宙麗亜ちゃんのつぶやき ]

0244 と似てますね。
次のような場所を見つけて利用すればいいのでは？

円の中の任意の点 P で:
AP * BP = CP * DP
が成り立ちます。 (三方万理先生が証明されたとおり)
Euclid's Chord Theorem と呼ばれているそうです。

[ 浅見多絵の回答 ]

もう少しでオバアチャンになる私にも、これぐらいは解けます。

図のように水平に直径の線を引き、左端の正方形の左辺の延長が直径と交わる点を
A, 右端の正方形の右辺が直径と交わる点を B とします。
さらに A, B と円周との水平距離をそれぞれ a, b とします。

点 A において:
a * (8 + b) = 3 * 3

点 B において:
(a + 8) * b = 1 * 1

以上を a, b に関する連立方程式として解きますと:
a = (sqrt(85) - 7) / 2
b = (sqrt(85) - 9) / 2

半径 r = (a + 8 + b) / 2 ですから:
r = sqrt(85) / 2

これらの計算結果をもとに GNUPLOT しましたので正しいと思います。

[ 仲島克郎さんのコメント ]

多絵さん、正解です。

YouTube での解きかた説明よりはストレートですね。
また「本田三角形は存在するか？」みたいな面白い出題をしてください。

[ 0309: 正方形4個でわかる円の半径 ]