Math Battle [ 0316: IMO 過去問: 8 ]

[ 0316: IMO 過去問: 8 ]

[ 湯会老人の出題 ]

私も IMO (国際数学オリンピック) の過去問から出題します。
私が入手した資料の最終改訂日は 2020/06/21 でした。
この問題では三角形の内心 (incenter) と外接円 (circum circle) の両方が出てきます。

Let I be the incenter of a triangle ABC and let Γ be its circumcircle. Let line AI intersect Γ again at D. Let E be a point on arc BDC and F a point on side BC such that ∠BAF = ∠CAE < (1 / 2)*∠BAC. Finally, let G be the midpoint of IF. Prove that DG and EI intersect on Γ.

イメージが湧きやすいように図を示します。

[ 浅見多絵さんの回答 ]

イメージ図にまどわされないように自分で図を作ることから始めました。

AF を延長した直線が外接円 Γ と交わる点を K とします。
また DG の延長線と EI の延長線の交点を X とします。

∠BAC = ∠CAE ですから 弧 BK = 弧 CE
∠IAT = ∠DAK = ∠EAD = ∠EXD = ∠IXT

したがって I, A, X, T は同一円上にあります。
(赤の点線で示します)

∠EXD = ∠EAD
∠EAD は外接円 Γ における弧 ED の円周角ですから
これと同じ弧 ED からみて同じ角度をなす X は
同様に外接円 Γ の円周上にあることになります。

証明おわり。 (Q.E.D.)

[ 湯会老人のコメント ]

多絵さん、ちゃんと図が描けましたね。
正解です。

このタイプの問題は「angle chacing」 (角度追い) で解けます。
円周角の関係以外に図形の相似性、平行線での同位角や錯角。 いろいろ手はあります。

[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]

わー、すごい。

全部座標計算してから GNUPLOT したんですか？

[ 浅見多絵さんのコメント ]

まず A (3, 7) B (0, 0) C (10, 0) としました。

内心 I (incenter) は:
∠B の二等分線: y = tan(atan(7/3)/2)*x
∠C の二等分線: y = tan(atan(-7/7)/2)*(x - 10)
の交点で I (3.8581, 2.5440)

外接円の中心 (p, q) は A, B, C から等距離にあるので
(p-3)^2 + (q-7)^2 = p^2 + q^2 = (p-10)^2 + q^2 = r^2
p = 5, q = 2, r = sqrt(29)

D は:
円　(x-5)^2 + (y-2) = 29
AI　y = -(4.456/0.8581)*(x-3) + 7
の交点なので D (4.9999, -3.3852)

という具合です。

Wolfram|Alpha に計算させながら同時に GNUPLOT で円や線分を追加してゆきました。
図を再現してゆくとどの角とどの角が同じなのかが自然にわかってきました。

[ 仲島克郎さんのコメント ]

いいやりかたですね。今度マネをしよう。

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