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[ 0320: 単純計算問題 ]
[ 丘品花志先生の出題 ]
代数の単純な計算問題です。
x^2 + x^(-2) = 1 のとき:
x^100 + x^99 + x^98 + x^97 + x^96 + x^95 + x^94 + x^93 +
x^92 + x^91 + x^90 + x^89 - 12345
の値はいくらになりますか？
[ 井伊莞爾君の回答 ]
x^2 + x^(-2) = 1
x^2 - 1 + x^(-2) = 0
x^2 をかけて:
x^4 - x^2 + 1 = 0
さらに (x^2 + 1) をかけて:
(x^2 + 1)*(x^4 - x^2 + 1) = x^6 + 1 = 0
x^100 + x^99 + x^98 + x^97 + x^96 + x^95 + x^94 + x^93 +
x^92 + x^91 + x^90 + x^89 - 12345
= (x^6 + 1)*(x^94 + x^93 + x^92 + x^91 + x^90 + x^89)
= 0
したがって与えられた式の値は -12345 です。
[ 丘品花志先生のコメント ]
正解です。x^6 + 1 = 0 がわかれば結構。
x^2 + x^(-2) = 1 の複素数解は 4 個ありますが、
それらを考えるよりは式の形から推測して 0 になるものを使えばいいです。
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