Math Battle [ 0329: 三角関数の関数の最大最小 ]

[ 0329: 三角関数の関数の最大最小 ]

[ 三方万理先生の出題 ]

これは某大学の入試で実際に出題された問題です。

0 ≦ θ ≦ 2*π の範囲で sin(θ)^3 + cos(θ)^3 の最大値と最小値を求めてください。

[ 井伊莞爾君の回答 ]

f(θ) = sin(θ)^3 + cos(θ)^3 とします。

まずこれを θ で微分しますと:
f ' (θ) = 3*sin(θ)^2*cos(θ) - 3*cos(θ)^2*sin(θ)

f ' (θ) = 0 のとき f(θ) は極値 (極大あるい極小) をとります。
sin(θ)^2*cos(θ) - cos(θ)^2*sin(θ) = 0

因数分解して:
sin(θ)*cos(θ)*(sin(θ) - cos(θ)) = 0

これら全てに対して f(θ) の値を計算し、どれが最大でどれが最小かを調べました。

グラフはこんな感じです。

[ 三方万理先生のコメント ]

莞爾君、正解です。ありがとうございます。

微分した結果 (導関数) をもとにうまく場合分けしましたね。感心、感心。

[ 0329: 三角関数の関数の最大最小 ]