Math Battle [ 0330: 長方形の幅 ]

[ 0330: 長方形の幅 ]

[ 丘品花志先生 (funny teacher) の出題 ]

まだ暑いですね。コロナ休校のあと授業は再開していますが、
小学校はけっこう大変です。

さて、皆さんにはもはや「小学生でもわかる問題」は出題できませんから、
幾何学らしいのをひとつ。

図で示すとおり高さ 8 の長方形 ABCD の中に円が 2 個はいっています。
これらは互いに外接しあい、コンビで長方形 ABCD に内接しています。

E はこれら 2 個の円の外接点。FG は AB と平行で長さ 6 とします。

このとき、長方形 ABCD の幅 (BC = DA) を求めてください。

[ 大宙麗亜ちゃんのつぶやき ]

B を座標原点 (0, 0) にとり、左上の円の半径を a、
右下の円の半径を b にしますと:

斜線 AC の長さ = (sqrt(2) + 1) * (a + b)
AD = sqrt(AC² - AB²)
= sqrt(AC² - 64)

E の座標は:
(x - a)² + (y - (8-a))² = a²
(x - (DA-b))² + (y - b)² = b²
の連立方程式を解いたもの
...

あとはお兄ちゃん (乗児) にやってもらいましょう。

[ 大宙乗児君の回答 ]

レイアは今回は難しく考えすぎ。単純に解けます。
僕は下の図のように補助線を入れました。

P は左上の円の中心、R は右下の円の中心。
これらからそれぞれ垂直、水平に線を引き交わった点を Q とします。
三角形 PQR は直角三角形です。

PQ は FG (= 6) の半分であることは対称性からわかります。
したがって PQ = 3

さらに AB = (a + b) + PQ = 8 から
a + b = 8 - 3 = 5

QR = sqrt(5² - 3²) = 4
BC = DA = (a + b) + QR = 5 + 4 = 9

でした。念のため GNUPLOT しましたが、間違いありません。

[ 丘品花志先生のコメント ]

乗児君、正解です。図解もよくできていますね。

A (0, 8)
B (0, 0)
C (9, 0)
D (9, 8)
E (3.6, 4.8)
F (3.6, 7.2)
G (3.6, 1.2) FG = 6
P (2, 6)
Q (2, 3)
R (6, 3)

になるはず。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

わあ、すごい。ホントだ。

[ 0330: 長方形の幅 ]