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[ 0338: 0331の解きなおし ]
[ 西尾三奈さんの解きなおし ]
湯会老人が解いてくださった 0331 を
スッキリと解きなおししてみます。
図で示すように 辺 BC の中点を P, 辺 CA の中点を Q, 辺 AB の中点を R とし、
三角形 ABC の外接円の半径を r とします。
BC, CA, AB の辺長をそれぞれ a, b, c としますと
P, Q, R における「十字架」定理 (Euclid's Intersecting Chords Theorem) から:
① (a/2)2 = 3*(2*r - 3)
② (b/2)2 = 2*(2*r - 2)
③ (c/2)2 = 1*(2*r - 1)
さらに 2*r = a/sin(A) -- ④ (正弦定理)
①, ②, ③ から:
a = 2*sqrt(6*r - 9)
b = 4*sqrt(r - 1)
c = 2*sqrt(2*r - 1)
④ から:
cos2(A)
= 1 - sin2(A)
= (4*r2 - a2)/(4*r2)
= (r2 - 6*r + 9)/r2 -- ⑤
余弦定理から cos(A) を求めます。
cos(A)
= (b2 + c2 - a2)/(2*b*c)
= ((16*r-16) + (8*r-4) - (24*r-36))/(16*sqrt((r-1)*(2*r-1)))
= 1/sqrt((r-1)*(2*r-1)))
両辺を 2 乗しますと cos2(A) = 1/((r-1)*(2*r-1))
⑤ と合わせて:
(r2 - 6*r + 9)/r2 = 1/((r-1)*(2*r-1))
2*r4 - 15*r3 + 36*r2 - 33*r + 9 = 0
4 次式になりましたが次のように因数分解できます。
(2*r - 1)*(r3 - 6*r2 + 9*r - 3) = 0
1 次式の部分を含めて Wolram|Alpha で求めた解は:
湯会老人が求めた結果と一致しています。
3 より大きい解として r ≈ 3.8794 をとります。
あとは同様。r から a, b, c および三角形 ABC の面積が求まります。
[ 湯会老人のコメント ]
三奈さん、ありがとう。
これでわかりやすくなりましたね。
2 つの道を cos2(A) で突き合わせることによって
計算が煩雑になるのを防いだのが良かったと思います。
[ 浅見多絵さんのコメント ]
やっと理解できました。うん、そういうことだったのか。
疾矢君は三奈ちゃんに負けてますね。しっかりしなさい。
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