Math Battle [ 0342: 星形の中の赤円と青円群 ]

[ 0342: 星形の中の赤円と青円群 ]

[ 湯会老人の出題 ]

星楊令さんが 0341 で面白い出題 (特に追加質問) をしてくれましたので、
お礼に星形をテーマにした出題をします。

図のように半径 1 の円に内接する星形があり、中央に星形に内接する赤い円、
さらに 5 方向にそれぞれ連なってゆく青い無限個の円群があります。
隣同士の円は必ず外接しあい、各円は星形に内接するものとします。

この幾何学的構成 (geometrical construction) を理解した上で
以下の値を計算してください。

① 星形の面積 (0151 参照)
② 中央の赤い円の面積
③ 5 方向の青い円群の面積総和

[ 浅見多絵さんのコメント ]

湯会老人、これは political math ですか？ (笑)
それにしても、よくもまあこんな出題図が作れましたね。
計算が面倒そうなので私はパスします。

[ 広世正憲君の回答 ]

挑戦させていただきます。

まず、下図のように星形の頂点を A,B,C,D,E,F,G,H,I,J と呼ぶことにし
座標原点 (0, 0) を星形の中心に置きます。
この中心は赤い円の中心でもあり O と呼ぶことにします。

以下、角度はラジアン単位とします。また円周率は π でなく pi と表記します。

まず A,C,E,G,I の座標を求めておきます。
(出題図作成とちがって全部が必要なわけではないですが)

擬似的に複素平面で考えると計算が楽になるため A を i
とします。これを角度 2*pi/5 ずつ原点のまわりに回転する計算になります。

A: i
C: i*(cos(2*pi/5)+sin(2*pi/5)*i)
　　≈ -0.9511 + 0.3090 i
E: i*(cos(4*pi/5)+sin(4*pi/5)*i)
　　≈ -0.5878 - 0.8090 i
G: X 軸に関して E と対称なので
　　≈ 0.5878 - 0.8090 i
I: X 軸に関して C と対称なので
　　≈ 0.9511 + 0.3090 i

A: ( 0.0000, 1.0000)
C: (-0.9511, 0.3090)
E: (-0.5878, -0.8090)
G: ( 0.5878, -0.8090)
I: ( 0.9511, 0.3090)

凹頂点ではとりあえず B だけを求めれば充分です。
(必要であれば D,F,H,J は B の回転で求められます)

B は直線 AE と直線 CI の交点です。
AE: y = (1.8090/0.5878)*x + 1.0000
CI: y = 0.3090

上の連立方程式の解として求まる B の座標は：
(-0.2245, 0.3090)

OB (原点と B との間の距離) は:
sqrt(0.2245^2 + 0.3090^2)
≈ 0.3819

星形の面積は三角形 AOB の面積の 10 倍です。
したがって：
(1/2)*OA*OB*sin(pi/5) * 10
OA = 1, OB = 0.3819 ですから
星形の面積 ≈ 1.1224

中央の赤い円の面積
= 0.3819^2 * pi
≈ 0.4582

この段階の感じでは赤は星形の多数派ではないみたい。 (笑)

次にまず A 方向の青色円群の最初の円 (最も大きいもの)
半径を r₁ とします。

OA - 0.3819 (赤の円の半径) = 0.6181
(0.6181 - r₁) * sin(pi/10) = r₁
r₁ ≈ 0.1459

半径 r₁ の青色円の面積は:
r₁^2 * pi
≈ 0.0669

次に 0341 でレイアちゃんがやってくれたのと同じ方式で
青色円群の半径数列の公比を求めます。

辺の比として 2 (= 1/sin(pi/6)) ではなく 1/sin(pi/10) を使います。

r₂/sin(pi/10) + r₁ + r₂ = r₁/sin(pi/10)
(1 + 1/sin(pi/10))*r₂ = (1/sin(pi/10) - 1)*r₁
(1 + sin(pi/10))*r₂ = (1 - sin(pi/10))*r₁
r₂ = ((1 - sin(pi/10))/(1 + sin(pi/10)))*r₁
= (5 - 2*sqrt(5)) * r₁
≈ 0.5279 * r₁
半径の公比 ≈ 0.5279　