Math Battle [ 0343: x<sup>5</sup> + x<sup>4</sup> + 1 = 0 の実数解 ]

[ 0343: x5 + x4 + 1 = 0 の実数解 ]


[ 仲島克郎さんの出題 ]

意味ありげな幾何学問題が続きましたので、代数問題を出題します。

5 次方程式 x5 + x4 + 1 = 0 の実数解を求めてください。


[ 大宙乗児君の回答 ]

x の奇数次多項式は x が -∞ 〜 ∞ の範囲で -∞ 〜 ∞ または ∞ 〜 -∞ の値をとります。 したがって必ず実数解が少なくとも 1 個あります。

僕が 0065 でおこなったように 互いにプラスマイナスで相殺しあうような項ないし式を挿入して左辺が因数分解できるかどうかやってみます。

x5 + x4 + (x3 - 1) + 1 - (x3 - 1)
= (x5 + x4 + x3) - (x3 - 1)
= x3*(x2 + x + 1) - (x - 1)*(x2 + x + 1)
= (x3 - x + 1)*(x2 + x + 1)

(3 次式)*(2 次式) の形に因数分解できました。

x2 + x + 1 = 0 は実数解を持ちません。
(判別式が負ですから)

x3 - x + 1 = 0 は実数解を持ちます。
三方万理先生に教えていただいたカルダノの公式 (Cardano's formula) を思い出しながら解いてみます。

記法の伝統にしたがえば x = u + v とすべきですが、文字の見分けがつきにくいですから x = a + b とします。

(a + b)3 - (a + b) + 1 = 0
(a3 + b3 + 1) + (3*a*b - 1)*(a + b) = 0

ここで十分条件として次の連立方程式を考えます。

① a3 + b3 + 1 = 0
② 3*a*b - 1 = 0

② から b = 1/(3*a) とし ① に代入しますと:
a3 + 1/(27*a3) + 1 = 0

左辺に a3 を掛けて:
a6 + a3 + 1/27 = 0

まず a3 の 2 次方程式とみなして解きます。
a3 = (-1 ± sqrt(23/27))/2

なお a と b は式のなかで対称性を持っていますから 根号の前の正負記号を片方がプラス、他方がマイナスにしてかまいません。

上記の a3 と b3 の 3 乗根 (a と b) をとり、 足し合わせて x の実数解を求めます。

x = a + b
= ((-1 + sqrt(23/27))/2)^(1/3) + ((-1 - sqrt(23/27))/2)^(1/3)
≈ -0.3377 (実根) + (-0.9870) (実根)
-1.3247

間違っていませんか?


[ 仲島克郎さんのコメント ]

乗児君、間違っていません。 (拍手)
Wolfram|Alpha で解いた結果と一致しています。

他の 2 個の解は共役複素数ですが 実数解を複素平面上で ± 120°回転したものではないことに注意してください。 x3 = 1 の解などとは違いますね。

[ 0345: 2個の円を囲む台形の面積 ]

[ 0344: 4次式の中の3個の係数 ]

[ 0343: x5 + x4 + 1 = 0 の実数解 ]

[ 0342: 星形の中の赤円と青円群 ]

[ 0341: 正三角形の中の3個の円 ]

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