[ 0347: 2個の正方形の面積合計 ]
[ 星楊令さんの出題 ]
星にちなんだ値が出てくる幾何学問題です。
下の図で赤い正方形の面積合計を求めてください。
[ 浅見多絵さんの回答 ]
h: 黒の長方形の高さ
w: 黒の長方形の幅
d: 赤の正方形の対角線の長さ
とします。円弧の半径は h と同じです。
次のように 3 個の直角三角形に対して
ピタゴラスの定理を使います。
① (h + 1)^2 = h^2 + w^2
② w^2 = h^2 + d^2
③ h^2 = 1 + d^2
② - ③ から:
w^2 = 2*h^2 - 1 -- ④
① に代入して:
h^2 + 2*h + 1 = h^2 + 2*h^2 - 1
2*h^2 - 2*h - 2 = 0
h^2 - h - 1 = 0
h = (1 + sqrt(5)/2
④ に代入して:
w^2 = 2*(6 + 2*sqrt(5))/4 - 1
= 3 + sqrt(5) - 1
= 2 + sqrt(5)
(w = sqrt(2 + sqrt(5)))
② に代入して:
d^2 = h^2 - 1
= (6 + 2*sqrt(2))/4 - 1
= (3 + sqrt(5) - 2)/2
= (1 + sqrt(5))/2
2 個の正方形の面積合計
= 2 * (d/sqrt(2))^2
= 2 * d^2/2
= d^2
= (1 + sqrt(5))/2
やはり黄金比 (golden ratio) が出てきましたね。
h | (1 + sqrt(5))/2 | 1.61803 |
h | sqrt(2 + sqrt(5)) | 2.05817 |
d | sqrt((1 + sqrt(5))/2) | 1.27202 |
でした。
[ 星楊令さんのコメント ]
ありがとうございます、正解です。
計算が大変だったでしょう。
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