Math Battle [ 0347: 2個の正方形の面積合計 ]

[ 0347: 2個の正方形の面積合計 ]


[ 星楊令さんの出題 ]

星にちなんだ値が出てくる幾何学問題です。
下の図で赤い正方形の面積合計を求めてください。


[ 浅見多絵さんの回答 ]

h: 黒の長方形の高さ
w: 黒の長方形の幅
d: の正方形の対角線の長さ

とします。円弧の半径は h と同じです。

次のように 3 個の直角三角形に対して
ピタゴラスの定理を使います。

① (h + 1)^2 = h^2 + w^2
② w^2 = h^2 + d^2
③ h^2 = 1 + d^2

② - ③ から:
w^2 = 2*h^2 - 1 -- ④

① に代入して:
h^2 + 2*h + 1 = h^2 + 2*h^2 - 1
2*h^2 - 2*h - 2 = 0
h^2 - h - 1 = 0
h = (1 + sqrt(5)/2

④ に代入して:
w^2 = 2*(6 + 2*sqrt(5))/4 - 1
= 3 + sqrt(5) - 1
= 2 + sqrt(5)
(w = sqrt(2 + sqrt(5)))

② に代入して:
d^2 = h^2 - 1
= (6 + 2*sqrt(2))/4 - 1
= (3 + sqrt(5) - 2)/2
= (1 + sqrt(5))/2

2 個の正方形の面積合計
= 2 * (d/sqrt(2))^2
= 2 * d^2/2
= d^2
= (1 + sqrt(5))/2

やはり黄金比 (golden ratio) が出てきましたね。

h(1 + sqrt(5))/21.61803
hsqrt(2 + sqrt(5))2.05817
dsqrt((1 + sqrt(5))/2)1.27202

でした。


[ 星楊令さんのコメント ]

ありがとうございます、正解です。
計算が大変だったでしょう。

[ 0347: 2個の正方形の面積合計 ]

[ 0346: 4分円の中の2個の半円と円 ]

[ 0345: 2個の円を囲む台形の面積 ]

[ 0344: 4次式の中の3個の係数 ]

[ 0343: x5 + x4 + 1 = 0 の実数解 ]

[ 0342: 星形の中の赤円と青円群 ]

[ 0341: 正三角形の中の3個の円 ]

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