Math Battle [ 0353: カルダノの公式 ]

[ 0353: カルダノの公式 ]


[ 湯会老人の出題 ]

しつこいようですが、外接円の半径 (circumradius) を求めた問題で 厳密値では cos(π/9) が出てきます。 なぜなのか考えてください。


[ 大宙乗児君のコメント ]

三角形だからではないんですか?


[ 広世正憲君のコメント ]

乗児君、冗談言ってないで 0348 をよく復習してください。
三方先生がこう解説されてます。

① u^3 + v^3 - 1 = 0
② u*v - 1 = 0
v = 1/u
Put this into ①
u^3 + 1/u^3 - 1 = 0
u^3 = (1 ± i sqrt(3))/2
Take the positive value.

u = cos(π/9) + i sin(π/9)
v = cos(π/9) - i sin(π/9)

(1 + i sqrt(3))/2 の 3 乗根はたしかに cos(π/9) + i sin(π/9) になりますね。
(1 + i sqrt(3))/2 が cos(π/3) + i sin(π/3) だから。
最初は気がつきませんでした。


[ 西尾三奈さんのコメント ]

私も湯会老人のフォローアップで最初この問題を解いたときは、
解が 2*cos(π/9) + 2 で表現できるとは思ってもみませんでした。
ただ海外の数学愛好者の中にはこの式で解答してくる人もいましたね。
上には上がいます。

[ 0354: 海外との交流 ]

[ 0353: カルダノの公式 ]

[ 0352: 三角形の未知の辺長 ]

[ 0351: xn + 1/xn の値 ]

[ 0350: 互いに外接する3個の円 ]

[ 0349: 2021年の素数日 ]

[ 0348: 3次方程式を解く ]

[ 0347: 2個の正方形の面積合計 ]

[ 0346: 4分円の中の2個の半円と円 ]

[ 0345: 2個の円を囲む台形の面積 ]

[ 0344: 4次式の中の3個の係数 ]

[ 0343: x5 + x4 + 1 = 0 の実数解 ]

[ 0342: 星形の中の赤円と青円群 ]

[ 0341: 正三角形の中の3個の円 ]

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