Math Battle [ 0360: 4乗根を含む方程式 ]

[ 0360: 4乗根を含む方程式 ]

[ 浅見多絵さんの出題 ] (2022/05/15)

次の方程式を解き x の値を求めてください。

[ 星楊令さんのコメント ]

左辺、右辺ともに逆数の和になっていますね。
次のように a という媒介変数 (auxiliary variable) を定義して見やすくします。

a = ((2*x + 1)/(x - 1))^(1/4) (a > 0)

a + 1/a = x + 1/x
a⁴ = (2*x + 1)/(x - 1)
x = (a⁴ + 1)/(a⁴ - 2)

もとの方程式は次のように書き直すことができます。
a + 1/a = (a⁴ + 1)/(a⁴ - 2) + (a⁴ - 2)/(a⁴ + 1)

因数分解をしますと:
(a² - a - 1)*(a³ + a + 1)*(a⁵ - a⁴ + a + 2) = 0
a = (1 + sqrt(5))/2

得られた a の値を x に対応させます。
x = (a⁴ + 1)/(a⁴ - 2) = (1 + sqrt(5))/2

[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]

なるほど。こういう解きかたがあるんですね。初めて知りました。
手品みたいですが間違ってないです。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

楊令さん、ありがとうございます。めでたく黄金比 (Golden Ratio) が得られましたね。
今日はヒマワリの種を肴に金麦にしましょう。🍻️

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