Math Battle [ 0362: 正方形に内接した3個の円 ]

[ 0362: 正方形に内接した3個の円 ]

[ 西尾三奈さんの出題 ] (2022/05/16)

図で示すように正方形の中に大きさが違った 3個の円がはいっています。
緑の円とマゼンタの円は直接接しているのではなく、
共通接線 (点線で図示) を持っているだけです。
この点を誤解すると間違った答になります。

2 および 3 は中心間距離です。
必要な計算をいろいろおこなった上で、最後に:
面積比として

(緑 + マゼンタ) / 緑
を求めてください。

井伊莞爾君、「いい感じ」に解いてみてください。お願いします。

[ 井伊莞爾君の回答 ]

まず変数を以下のように決めます。

g 緑の円の半径

m マゼンタの円の半径

y 黄色の円の半径

h マゼンタの円を含む直角三角形の斜辺 (hypotenuse) の長さ

右下がり対角線方向の差は:
sqrt(2)*(y - g) = 2 — ①
sqrt(2)*(y - m) = 3 — ②

マゼンタの円を含む直角三角形の高さ
= h - 2*y + 2*m

緑の円を含む直角三角形の高さ (正方形の一辺と同じ)
= 2*y

g : m = 2*y : (h - 2*y + 2*m) — ③

ピタゴラスの定理から:
h^2 = (2*y)^2 + (h - 2*y + 2*m)^2 — ④

{ ①, ②, ③, ④ } を連立方程式として解くと:
( g = 2*sqrt(2), m = 3/sqrt(2), y = 3*sqrt(2), h = 15/sqrt(2) )

(green + magenta) / (yellow) = (g^2 + m^2)/y^2 = 25/36

[ 西尾三奈さんのコメント ]

莞爾君、正解です。よく解けましたねー。

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