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[ 0364: ヘロンの公式の証明 (続き) ]
[ 桜木舞さんの回答の続き ] 2022/05/18
S = (1/2)*a*c*sin(B)
= (1/2)*a*c*sqrt(1 - cos2(B)) 接着剤使用済み
余弦定理 (Cosine Formula) で得られた
cos(B) = (c2 + a2 - b2)/(2*c*a)
を代入します。
平方根の中はどんどん因数分解 (factorize) できます。
S = (1/2)*a*c*sqrt(1 - (c2 + a2 - b2)2/(2*c*a)2)
= (1/4)*sqrt((2*c*a)2 - (c2 + a2 - b2)2)
= (1/4)*sqrt((2*c*a - c2 - a2 + b2)*(2*c*a + c2 + a2 - b2))
= (1/4)*sqrt((b - c + a)*(b + c - a)*(c + a - b)*(c + a + b))
= sqrt(((a + b + c)/2)*((-a + b + c)/2)*((a - b + c)/2)*((a + b - c)/2))
周長の半分 (semiperimeter) を s で表します。
s = (a + b + c)/2
最終的に:
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S = sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c))
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となります。これがヘロンの公式 (Heron's Formula) です。
[ 丘品花志先生のコメント ]
なるほど、納得しました。ピタゴラスの定理を使ってひねり回すよりもスマートです。
余弦定理はピタゴラスの定理の一般化 (generalization) ですから。
舞さんは「令和のドラゴン桜」ですね。
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