[ 三方万理先生の出題 ] 2022/05/19

△ABC に対して以下の要領でマゼンタ色の円を作ったとき、
その円の半径は △ABC の外接円の半径 (circumradius) の何倍になりますか？

[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]

4月から中学 1年生になったレイアです。1/2 ぐらいに見えます。

[ 三方万理先生のコメント ]

そうですね、正解です。視力に異常はありません。
この円は 9-point circle (九点円) と呼ばれているもので、
次のような 9個の重要な点 (9 significant points) を通ります。

• 各頂点から対辺におろした垂線の足。
• 各辺の中点。
• 各頂点と垂心との中点

9-point circle の半径が△ABCの外接円の半径の 1/2 になることは別途証明されており、
知っておくのもいいでしょう。大学入試では出題されませんが。

この問題では垂線の足 (foot) が 2個、辺の中点が 1個含まれています。
通過点が 3個で円は確定しますから、マゼンタの円は 9-point circle です。

[ 0368: 平方根と3乗根を含む方程式 ]

[ 0367: Math Battle in Facebook ]

[ 0366: さまざまな方程式 ]

[ 0365: 9-point circle ]

[ 0364: ヘロンの公式の証明 (続き) ]

[ 0363: ヘロンの公式の証明 ]

[ 0362: 正方形に内接した3個の円 ]

[ 0361: 円3個を含む正方形の面積 ]

[ 0360: 前の記事 ]