Math Battle [ 0368: 平方根と3乗根を含む方程式 ]

[ 0368: 平方根と3乗根を含む方程式 ]

[ 星楊令さんの出題 ]

次の方程式の実数解を全て求めてください。平方根と3乗根が含まれています。

[ 大宙乗児君の解答 ]

思い切って次のようにおきましょう。
a = (-10*x^2 + 4*x + 14)^(1/3)
b = sqrt(5*x^2 - 2*x - 3)

まずもとの方程式をあらわし、それから a と b の関係を書きます。
① a + b = 2,
② a^3 + 2*b^2 = 8

①, ② を a と b に関して解きます。
b = -a + 2
a^3 + 2*(-a + 2)^2 = 8
a*(a + 4)*(a - 2) = 0
a = -4, 0, 2

-10*x^2 + 4*x + 14 = a^3
ですから、a の３つの値に対してそれぞれ x の２次方程式を解きます。
舞さん、続けてください。

[ 桜木舞さんの解答 ]

はい、了解。

(1) a = -4:
-10*x^2 + 4*x + 14 = -64
(5*x + 13)*(x - 3) = 0
x = -13/5, 3

(2) a = 0:
10*x^2 + 4*x + 14 = 0
(x + 1)*(5*x - 7) = 0
v = -1, 7/5

(3) a = 2:
10*x^2 + 4*x + 14 = 8
(5*x + 3)*(x - 1) = 0
x = -3/5, 1

小さいほうから順に: -13/5, -1, -3/5, 1, 7/5, 3
これでいいですか？

[ 星楊令さんのコメント ]

ジョージ君と舞さん、ありがとうございます。正解です。

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